Geometría en el territorio
Grupo Cádiz-Granada
Muchos de nosotros decidimos hacernos profesores de matemáticas para ayudar a aquellos a los que esta materia les resultaba tan difícil. No entendíamos cómo se les podía atravesar algo tan fácil y atractivo para nosotros. Teníamos claro que no nos gustaba el sistema que utilizaron con nosotros cuando éramos alumnos y cuando, por fin, llega el gran día nos descubrimos haciendo aquello que tantas veces criticamos. Pero, sin tener mucha más información al respecto que antes de empezar la carrera ¿cómo llevar a cabo una metodología que no fuera la vivida en nuestros años de estudiantes? La respuesta es casi obvia, utilizando nuestra intuición y sentido común mediante ensayo y error.
La idea de trabajar con proyectos surgió, entre otras cosas, de la necesidad de poder ofrecerles a nuestros alumnos distintos niveles de aprendizaje para que cada uno tuviera un reto propio e individual, y superara el conocimiento con el que había llegado al curso en cuestión. Nos habíamos dado cuenta que en los cursos superiores de secundaria obligatoria había estudiantes que aún realizando esfuerzos por su parte no llegaban al nivel esperado con lo que al cabo de unos meses, a veces semanas, tiraban la toalla y se desentendían de la asignatura, lo cual creaba frustración en ellos como estudiantes y en nosotros como profesionales.
EL PROYECTO
Decidimos centrarnos en un tema que fuera a priori lo más motivador posible para nuestros estudiantes. Nos decidimos a “trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos debiéndose realizar dicho trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas … y trabajando entonces matemáticamente hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado.” (Claudi Alsina). Así el territorio toma parte fundamental del proyecto.
El centro escolar en el que decidimos implementarlo fueron las Escuelas Profesionales de la Sagrada Familia de Écija, en un nivel 3º de Eso. Cualquiera que haya visitado esta ciudad, además de las temperaturas que se alcanzan en verano, recordará, sin duda, la variedad de torres que existen. Por eso, decidimos que el proyecto que deberían realizar nuestros alumnos estaría ligado a este hecho característico de su entorno, del cual los astigitanos se sienten muy orgullosos. Así, el proyecto se tituló ¿Por qué a Écija se le conoce como la Ciudad de las Torres?, y consistía en que los estudiantes, divididos en cinco grupos de cinco componentes cada uno, construyeran a escala determinada una torre de su pueblo, elegida por ellos mismos.
Todos los avances, dudas y cálculos realizados para la construcción de la torre debían quedar registrados en dos documentos que debían entregar al final de la experiencia, el portafolio del alumno y el portafolio del grupo de trabajo.
IMPLEMENTACIÓN
En el transcurso del proyecto, que ocupó 16 sesiones, se trabajaron todo tipo de contenidos: conceptuales, procedimentales, actitudinales y transversales; utilizando una metodología constructivista del aprendizaje en la que el docente quedaba relevado a un segundo plano y eran los estudiantes los que demandaban los conocimientos que les eran necesarios para ir avanzando en su proyecto.
A posteriori, hemos podido encuadrar las actividades realizadas en cinco grandes grupos, de decisión, transición, toma de datos, cálculo y construcción.
A continuación detallaremos el proceso seguido guiándonos por dichas actividades.
Actividades de decisión
Forman parte de ellas las actividades de toma de contacto con el tema, pretendiendo la detección de ideas previas, mediante las que orientábamos a nuestros estudiantes para que localizasen los pasos a seguir, y solicitaran los medios para poder darlos. Cabe reseñar que los alumnos decidieron todos los aspectos referentes al proyecto desde los grupos de trabajo y la torre que construirían al camino que seguirían para conseguirlo, por este motivo nuestra planificación quedó relegada a un segundo plano y todo el trabajo realizado con anterioridad al comienzo del proyecto, nos sirvió como material de apoyo y para conocer mejor el terreno por el que íbamos a caminar.
Gracias a las primeras aproximaciones al tema decidimos la escala conveniente a utilizar, decidiendo la altura conveniente que deberían tener las maquetas de las torres, para que estas no fueran demasiado grandes, con lo que sería muy difícil su construcción, ni demasiado pequeñas, con lo que la dificultad estaría a la hora de imprimir los detalles.
Tras decidir la escala conveniente, que quedó fijada en 1:50, notaron la necesidad de saber las medidas de las diferentes partes en las que subdividían sus torres, y que no eran accesibles. En este punto, les sugerimos la idea de utilizar un Hipsómetro, que junto al teorema de Thales solucionaba dicho problema, ya que sirve para medir alturas indirectamente. Este instrumento no es más que una escuadra con brazos graduados de 50 cm. de longitud y una varilla articulada, como se observa en la imagen. En el brazo horizontal debe existir un nivel para asegurar una correcta posición del aparato. La herramienta fue construida por los alumnos en la clase de tecnología, quedando constancia del proceso en el portafolio del alumno.
Una vez salvado el problema de medición, reflejaron la idoneidad de entrenarse en algunos aspectos, tanto matemáticos como manipulativos, que se detallan a continuación y que hemos denominado actividades de transición, que en principio no estaban previstas en la planificación inicial realizada.
Actividades de transición
Los alumnos habían determinado que para poder construir las torres debían saber montar objetos matemáticos más simples, de esta forma les presentamos la descomposición en el plano de figuras en el espacio, para luego acoplar las caras formando la tridimensional. En esta parte del proceso pudimos observar que absolutamente todos los alumnos estaban implicados, y era un placer comprobar como estaban de comprometidos no olvidando el material necesario e intentando cada vez conseguir construir figuras más complicadas. Al comienzo de cada sesión se les proponían unas figuras, más simples, que debían construir para que hubiera un conocimiento mínimo y estandarizado por parte de todos los alumnos, y se les dejaba el resto a su imaginación. De esta forma conocieron el nombre de las figuras tridimensionales más relevantes, y las medidas que necesitaban para poder construirlas. Gracias a estas actividades, de notable corte manipulativo, aplicaron por necesidad propia el teorema de Pitágoras para poder conseguir algunas medidas que necesitaban para realizar el desarrollo plano conociendo las de la espacial, y viceversa.
Además, a petición de los estudiantes, realizamos actividades de tipo procesual o de entrenamiento, como, por ejemplo, cómo pasar medidas reales a una escala determinada, y recíprocamente ver cuanto sería en la realidad una medición realizada a escala.
Otra cuestión que les preocupaba era cómo medir con el hipsómetro, para disipar estas dudas decidimos, una vez que todos los grupos disponían de su hipsómetro, medir las alturas de ciertos edificios que componen el colegio, para una vez realizados los cálculos pertinentes, utilizando el teorema de Tales, comprobar que todos obteníamos una medida muy cercana, aunque distinta. Ellos mismos determinaron que no se obtenía exactamente la misma debido a pequeños errores en la toma de datos, y sacaron en conclusión que cabría la posibilidad de que las torres, por mucho que ellos se esforzaran, no serían maquetas totalmente fieles a la realidad.
Actividades de toma de datos
Ya que los grupos se habían entrenado en la obtención de medidas no accesibles, cada equipo tenía su propia técnica para realizar el trabajo. Mientras que algunos grupos lo hacían todo juntos, otros estaban mejor organizados y se dividían el trabajo, de esta forma un par de ellos medía con el hipsómetro, otro par medía la distancia a la torre a la que se habían colocado para medir con el instrumento, y el quinto miembro organizaba y tomaba los datos que los otros iban deduciendo, minimizando así el tiempo que necesitaban para el trabajo de campo. Sólo quedaba que determinaran las medidas que necesitaban para la construcción de su torre. Todos los grupos tuvieron que volver a ir a sus torres más de una vez porque se daban cuenta de que les faltaba algún dato.
Actividades de cálculo
Una vez adquiridos todos los datos necesarios para la construcción de la torre quedaba el trabajo más matemático, pasar todas las medidas a la escala determinada y realizar el desarrollo plano de las partes en las que habían dividido sus torres, indicando las medidas que debían tener las caras. Pudimos observar como, en la mayoría de los grupos, cada miembro hacía lo que mejor sabía y había plena colaboración entre los componentes, en incluso entre los distintos equipos.
Todos estos cálculos, hechos primeramente en borrador, los organizaron, algunos grupos mejor que otros, para presentarlos en el portafolio del grupo de trabajo. En dicho documento además de los cálculos realizados debía aparecer la justificación y el procedimiento por el cual habían llegado a dichas conclusiones. Como, aunque menos detalladamente, los alumnos debían explicar el proceso seguido en su portafolio individual, garantizamos de esta forma que todos los estudiantes supieran realizar todos los cálculos básicos.
Actividades de construcción
Esta parte del proyecto supuso para los alumnos dos sentimientos contradictorios. Por una parte la satisfacción de ver cómo tanto trabajo preliminar iba tomando forma, y la decepción de ver que sus torres no estaban proporcionadas, exactamente, como en la realidad, hecho para el que ya estaban prevenidos.
En estas actividades quedan enmarcadas las de construcción de las partes en las que habían dividido la torre, sirviéndose del desarrollo plano, esta vez a la escala determinada. Cada equipo decidió el nivel de detalle que quería imprimir a su torre, para lo cual la mayoría de los grupos utilizaron fotos, tomadas por ellos mismos o de alguna publicación. Una vez más, pudimos observar, gratamente, que el nivel de organización y colaboración que existía dentro de cada equipo era bastante alto.
CONCLUSIONES
Resultó muy interesante que los alumnos vivieron que los conceptos matemáticos tratados eran necesarios en la vida real, ya que ellos mismos los demandaban conforme les iban haciendo falta.
Es muy gratificante mirar la clase trabajando, todos unos con otros, mientras discuten entre ellos utilizando lenguaje técnico de nuestra asignatura para poder llegar a consenso. Creemos que con esta experiencia hemos conseguido que nuestros alumnos no olviden los conceptos tratados ya que los han vivido y, durante algunas semanas, fueron suyos.
A ellos, además de los conocimientos adquiridos, les queda la sensación del trabajo bien hecho, el saber que las matemáticas les rodean y que están en los lugares más insospechados. Vemos necesaria esta estimulación para poder luchar contra la falta de motivación que poseen los estudiantes, que se ve más acuciada en algunas asignaturas que en otras, y en nuestra materia, desgraciadamente, es de las que más la sufren.
Respecto a los logros académicos conseguidos nos encontramos muy satisfechos ya que aunque, obviamente, no todos los alumnos adquirieron el nivel mínimo de conocimiento referente a su etapa, según el DCB, lo que si que podemos afirmar es que todos aumentaron el conocimiento matemático que poseían antes de comenzar el proyecto, ya que todos se implicaron según sus capacidades, conocimientos previos y expectativas.
